随机事件和事件的运算
随机实验
我们将随机现象的观察或观测称为随机实验,随机实验必须满足一下条件:
可重复性
可观察性
不确定性
样本空间
我们把一个随机实验的所有可能的结果称为这个随机实验的样本空间记为S. 每一个可能的取值称为样本点
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\(E_1\):抛一枚硬币，观察出现正面或者反面. 样本空间为:
\(S_1=\lbrace 正面, 反面 \rbrace\)
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\(E_2\):掷一颗骰子, 观察出现的点数. 样本空间为:
\(S_2=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6\rbrace\)
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\(E_3\):灯泡的寿命. 样本空间为:
\(S_3=\lbrace t | t \geq 0\rbrace\)
从这3个例子可以发现\(S_1\)和\(S_2\)是离散的,\(S_3\)是连续的. 我们把随机实验的样本空间的子集称为随机事件,简称事件. 例如在上面例子\(E_3\)中, 假设寿命大于2000个小时的灯泡和合格产品， 那么所有满足这个条件的子集为一个事件，可以记为
\(A=\lbrace t, t > 2000\rbrace = \lbrace 灯泡合格\rbrace\)
只包含一个样本点的事件称为基本事件 样本空间S是自身的一个子集，在每次试验中它总是发生的，因此S也称为必然事件 同理空集\(\varnothing\)不可能发生，因此称为不可能事件
事件的关系和运算
事件的关系
同集合一样，事件直接也存在等价，包含等关系
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若 \(A \subset B\), 则称时间B包含时间A, 如果A发生则B一定发生;
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若\(A \subset B\) 且 \(A \supset B\), 则A和B称相等,记着A = B;
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事件\(A \cup B = \lbrace x | x \in A 或 x \in B\rbrace\)称为A和B的和事件;
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事件\(A \cap B = \lbrace x | x \in A 且 x \in B\rbrace\)称为A和B的积事件;
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事件\(A - B = \lbrace x | x \in A 且 x \notin B\rbrace\)称为A和B的差事件;
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若 \(A \cap B = \varnothing\), 则A和B称为互斥事件;
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若 \(A \cup B = S\)且\(A \cap B = \varnothing\), 则称A和B互为逆事件;
事件的运算
既然事件是一个集合，那么事件满足所有集合的运算。事件的计算法则和集合相同
频率和概率
频率
定义 在相同条件下，进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数\(n_A\) 称为事件A发生的频数，比值\(n_A/n\)则称为事件A发生的频率记成\(f_n(A)\)
由定义，可以知频率有如下性质：
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\(0 \leqslant f_n(A) \leqslant 1\);
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\(f_n(S) = 1\);
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若\(A_1, A_2, A_3,..., A_k\)互为两两不相容事件,那么
\(f_n(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\cup A_k) = f_n(A_1) + f_n(A_2) + f_n(A_3) +...+ f_n(A_k)\)
概率
定义 设E是随机试验, S是E的样本空间. 对于E的每一个事件A赋予一个实数, 记为P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P()满足下列条件
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非负性:对每一个事件A,有\(P(A) \geqslant 0\);
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规范性:对于必然事件S,有P(S) = 1
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可列可加性: 设\(A_1, A_2, ...\)是两两不相容的事件，即对于
\(A_i A_j = \varnothing i \neq j,i,j=1,2,...,\)有: \(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) +...\)
由定义可以知道，概率具有如下性质:
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不可能事件的概率:\(P(\varnothing) = 0\)
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有限可加. 若\(A_1, A_2, A_3, ..., A_n\)是两两不相容事件，那么有: \(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\cup A_n) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) +...+ P(A_n)\)
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设A，B是两个事件，设有\(A \subset B\),那么有:
\(P(B-A) = P(B) - P(A)\)
\(P(B) \geqslant P(A)\)
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逆事件的概率:\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
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加法公式:对任意两个事件有\(P(A \cup A) = P(A) + P(B) - P(AB)\)